prima parte - seconda parte - terza parte

Chi ha disputato qualche incontro o interi campionati con uno dei prodotti citati nella prima parte avrà abbastanza familiarità con i dadi a dieci facce numerate da 0 a 9: tre di essi servono ad indicare rispettivamente centinaia, decine ed unità, al fine di generare un numero casuale tra 0 e 999; in alcuni casi i giochi fanno invece uso del classico dado esaedrico, con l’effetto di rendere un po’ più complicata la vita ai matematici che debbono convertire tutti i calcoli in numerazione base 6 (d’altro canto i solidi regolari rotolano meglio…).

Anche senza sapere che il valore generato dai dadi (parliamo per comodità di quelli a 10 facce) è una realizzazione di un evento da una distribuzione Uniforme, appare quasi scontato che, per simulare la media battuta di Bonds per l’ultima stagione (.370), basta considerare una valida ogni valore dei dadi inferiore a “370” e una eliminazione altrimenti. Il valore atteso di una simulazione di 403 At Bats ad una probabilità di successo di .370 è .370 x 403 = 149, ovvero il numero di valide effettivamente messo a segno da Barry in 403 AB nel 2002.

Fin qui anche troppo banale.

Comunque immaginiamo di lanciare i dadi 403 volte e segnare una valida ogni qualvolta il risultato sia inferiore a “370”, e ripetere 1000 volte tale simulazione (non ci spezzeremo i polsi, il computer si caricherà dell’incombenza). Ecco i risultati ottenuti da Barry Bonds in un primitivo baseball da tavolo.

Grafico 1 - 1000 stagioni per Barry Bonds.

Facendo disputare al nostro giocatore la stagione 2002 per 1000 volte abbiamo ottenuto medie battute tra .300 e .445, con una maggiore concentrazione nei pressi del valore reale di .370. In particolare il 75% delle simulazioni ha restituito una media compresa tra .340 e .395.

Nel grafico sopra, chi ha un minimo di familiarità con la statistica ha senz’altro riconosciuto la “curva Normale”, ovvero la distribuzione degli errori casuali. Per i profani ciò significa che i dadi non fanno sì che Bonds non batta sempre a .370 (non è nemmeno auspicabile, dato che in un gioco ci aspettiamo la componente aleatoria) ma, alla lunga, le sue prestazioni simulate si attesteranno nei paraggi di quelle reali.

Ovviamente i giochi da tavolo precedentemente menzionati non si limitano a riprodurre la coppia di eventi valida/eliminazione, ma prendono in considerazione i vari possibili esiti di un turno in battuta, distinguendo le valide in singoli, doppi, etc., le eliminazioni in strikeout, groundout, flyout e tenendo conto di basi ball, colpiti, etc.

Non è difficile preparare una card per Barry Bonds: si prendono le sue statistiche e si calcola che l' 8.6% dei turni risultano in singoli, il 3.8% in doppi e così via (vedere la tabella).

Frequenza degli eventi per Barry Bonds (2002).

Il nostro Bonds virtuale sarà dunque rappresentato da una carta simile alla seguente.

Ipotetica Card per la stagione 2002 di Barry Bonds.

Chi ha giocato a Pursue The Pennant (PTP) ricorderà che la card dei battitori riportava soltanto valori da “000” a “499”; i numeri da “500” a “999” si trovavano invece sulla carta dei lanciatori: in questo modo vi era un’equa probabilità che l’evento determinato dai dadi dipendesse dal livello dell’uomo con la mazza o di quello del pitcher. Alternative utilizzate da Strat-o-Matic e altre firme erano costituite da altri sistemi che comunque spostavano il controllo del gioco dall’attacco al monte con pari opportunità.

Tutto questo non sembra complicare la vita di chi crea il gioco: basta preparare la carta del lanciatore in maniera analoga a quanto visto prima (ovviamente ciò che interessa ora sono i singoli concessi, i K ottenuti, etc.) ed il gioco è fatto. Per considerare soddisfacente il livello di simulazione del gioco dobbiamo almeno aspettarci  che Bonds, opposto ad un lanciatore medio, continui a produrre secondo le proprie statistiche (un lanciatore forte verosimilmente ne ridurrà la performance, mentre uno debole concederà alla sua mazza maggiori occasioni per fare scintille).

Al fine di controllare tale requisito possiamo creare “artificialmente” il lanciatore medio, utilizzando le statistiche cumulate di tutti i pitcher della National League. Torniamo all’esempio del semplice gioco che simula gli eventi valida/out. Abbiamo sempre il nostro Barry che batte a .370 ed un pitcher che concede una media di .259; utilizzando il metodo di PTP abbiamo le seguenti carte.

Ipotetiche Card semplificate per Bonds e un pitcher medio.

Simuliamo 1000 stagioni in cui BB sfida il pitcher medio…

Grafico 2 - 1000 stagioni di Bonds contro un lanciatore medio (primo tentativo).

Evidentemente qualcosa non funziona, dato che la media battuta si attesta attorno a .315; in effetti, con un po’ di nozioni di calcolo delle probabilità, il valore atteso della simulazione effettuata è ½ * .370 + ½ * .259 = .3145. La tabella sottostante mostra diverse combinazioni di battitori e lanciatori con relativi valori attesi.

Ipotedi di matchup tra lanciatori e battitori di diversi livelli.

Come si può notare il metodo che stiamo testando ha come esito quello di appiattire le diversità: le prestazioni dei migliori e dei peggiori si avvicinano alla media di lega, creando una situazione di eccessivo livellamento. Per sistemare questa condizione bisogna ritoccare la card dei giocatori in modo da ottenere il risultato desiderato: nel caso di Bonds dovremmo risolvere l’equazione ½ .* x + ½  * .259 = .370, ovvero la sua card restituirà una valida per ogni valore compreso tra “000” e “441” e un out altrimenti; le card dei lanciatori vanno aggiustate analogamente.

Per controllare la bontà del nostro operato lanciamo una simulazione per Bonds contro un lanciatore medio ed una per Randy Johnson contro un battitore medio.

Grafico 3 - 1000 stagioni di Bonds contro un lanciatore medio (secondo tentativo - riuscito).

Grafico 4 - 1000 stagioni di un battitore medio contro Randy Johnson.

Adesso le prestazioni si attestano attorno ai valori reali e possiamo pertanto ritenerci soddisfatti.

Come detto in precedenza una versione computerizzata del gioco può permettersi di utilizzare una “card” costruita all’istante in base al confronto battitore-lanciatore: uno dei metodi utilizzati a questo scopo è stato creato da Dallas Adams e proposto nel 1983 Baseball Abstract di Bill James.

La seguente formula è utilizzata come modello per determinare la media battuta di un particolare “match up”.

La formula di Dallas Adams per il Matchup lanciatore-battitore.

Dove BatAvg è la media del battitore, PitAvg quella concessa dal lanciatore e LgAvg quella di lega.

Di seguito abbiamo la rappresentazione grafica della funzione per la NL del 2002.

Grafico 5 - Funzione Matchup (secondo la formula di Adams) per la National League del 2002.

Sull’asse x abbiamo la media del battitore, sull’asse y quella del lanciatore e sull’asse z (verticale) il valore risultante: sotto abbiamo la rappresentazione di quanto ci si può attendere da una sfida Bonds-Randy Johnson.

Grafico 6 - Matchup tra Barry Bonds e Randy Johnson.

Nella realtà i loro duelli hanno prodotto un 4 su 9 (.444). Ovviamente non si può pretendere che la formula rispecchi la realtà (soprattutto per piccoli numeri) per ogni confronto monte-box, ma è auspicabile che fornisca buoni risultati a livello aggregato.

Nell’articolo The Batter/Pitcher Matchup, Dan Levitt ne prova la validità a livello generale; noi ci limiteremo a confrontare i diversi comportamenti tra questo metodo “da computer” e quello da tavolo”.

Grafico 7 - Barry Bonds contro lanciatori di vari livelli.

Grafico 8 - Andruw Jones contro lanciatori di vari livelli.

Grafico 9 - Randy Johnson in battuta contro lanciatori di vari livelli.

I tre grafici mostrano rispettivamente le performance offensive di Barry Bonds (battitore particolarmente abile), Andruw Jones (medio, ha chiuso la stagine a .264) e Randy Johnson (ovviamente scarso con la mazza). In ascissa abbiamo la media concessa da un ipotetico pitcher avversario, in ordinata il valore atteso dal confronto (linea gialla: "metodo Adams", linea rossa: "metodo PTP"). Anche se la zona di interesse è tra .2 e .4 (difficilmente abbiamo a che fare con pitchers che concedono medie inferiori a .200 o superiori a .400), è interessante osservare la maggiore correttezza in linea teorica del metodo Adams: supponendo un lanciatore che non concede valide (proprio zero!) le carte tipo PTP lascerebbero comunque un margine (oltre .200 per Bonds) al battitore, mentre la linea gialla riflette invece il totale dominio dell'ipotetico lanciatore (analogo discorso per l'estremo opposto).

prima parte - seconda parte - terza parte